Mathématiques du Penalty

Le Penalty est un jeu à 5 positions (gauche, centre-gauche, centre, centre-droit, droite). Voici les probabilités fondamentales :

• Probabilité de gagner : 1/5 = 20% (si distribution uniforme)
• Probabilité de perdre : 4/5 = 80%
• Cote réelle : 4:1 (4 chances de perdre pour 1 de gagner)
• Cote payée : Varie selon le casino (généralement 4:1 à 4.5:1)

Important : Ces probabilités supposent une distribution uniforme. En réalité, certains casinos peuvent avoir des biais (intentionnels ou non) vers certaines positions.

L'espérance de gain (EV = Expected Value) est le gain moyen que vous pouvez attendre sur le long terme. Formule :

EV = (Probabilité de gagner × Gain) - (Probabilité de perdre × Perte)

Exemple avec mise de 10€ et cote 4:1 :

• Gain si victoire : 40€ (10€ × 4)
• Perte si défaite : 10€
• EV = (0.20 × 40€) - (0.80 × 10€) = 8€ - 8€ = 0€

Avec cote 4.5:1 : EV = (0.20 × 45€) - (0.80 × 10€) = 9€ - 8€ = +1€ (avantage joueur de 10%)

Avec cote 3.5:1 : EV = (0.20 × 35€) - (0.80 × 10€) = 7€ - 8€ = -1€ (désavantage de 10%)

La variance mesure la dispersion des résultats autour de l'espérance. Plus la variance est élevée, plus vos résultats fluctueront.

Formule de la variance : σ² = Σ[P(x) × (x - EV)²]

Pour Penalty avec cote 4:1 et mise de 10€ :

• Variance = 0.20 × (40 - 0)² + 0.80 × (-10 - 0)² = 320 + 80 = 400
• Écart-type (σ) = √400 = 20€

Interprétation : Sur une mise de 10€, votre résultat typique sera dans la fourchette -10€ à +40€, avec un écart-type de 20€. Cela signifie :

• 68% du temps : résultat entre -20€ et +20€
• 95% du temps : résultat entre -40€ et +40€
• Besoin de ~400 mises pour que l'EV converge vers la moyenne théorique

Le Kelly Criterion est une formule mathématique qui détermine la taille optimale de mise pour maximiser la croissance de votre bankroll à long terme.

Formule : f* = (bp - q) / b

• f* = fraction de bankroll à miser
• b = cote décimale - 1 (ex: pour 4:1, b = 4)
• p = probabilité de gagner (0.20)
• q = probabilité de perdre (0.80)

Exemple avec cote 4.5:1 :

• f* = (4.5 × 0.20 - 0.80) / 4.5 = (0.90 - 0.80) / 4.5 = 0.022
• Mise optimale : 2.2% de votre bankroll

Avec cote 4:1 : f* = (4 × 0.20 - 0.80) / 4 = 0 / 4 = 0% (ne pas jouer, EV neutre)

Fractional Kelly : La plupart des professionnels utilisent 1/4 ou 1/2 Kelly pour réduire la variance. Avec 1/2 Kelly et cote 4.5:1, misez 1.1% de votre bankroll.

Les simulations Monte Carlo permettent de modéliser des milliers de scénarios pour comprendre la distribution des résultats possibles.

Simulation : 1000 mises de 10€ avec cote 4:1 (EV neutre) :

• Résultat médian : -50€ à +50€
• Meilleur 10% : +300€ ou plus
• Pire 10% : -300€ ou moins
• Probabilité de doubler sa bankroll (500€ → 1000€) : ~15%
• Probabilité de tout perdre : ~12%

Avec cote 4.5:1 (EV +10%) :

• Résultat médian : +50€ à +150€
• Meilleur 10% : +400€ ou plus
• Pire 10% : -200€ ou moins
• Probabilité de doubler sa bankroll : ~28%
• Probabilité de tout perdre : ~5%

Certains casinos peuvent avoir des biais (intentionnels ou techniques) dans la distribution des résultats. Voici comment les détecter :

Test du Chi-carré : Comparez la distribution observée à la distribution théorique (20% par position).

• Collectez au moins 200 résultats
• Calculez la fréquence de chaque position
• Si une position apparaît >25% ou <15%, biais possible
• Utilisez un test statistique (Chi² avec p < 0.05) pour confirmer

Exemple réel : Sur 500 tirages, si 'Centre' apparaît 130 fois (26%) au lieu de 100 (20%), c'est un écart de +30%. Test Chi² : χ² = 18 (p < 0.01) → biais significatif.

Exploitation : Si vous détectez un biais, ajustez vos mises en conséquence. Mais attention : les casinos peuvent changer leurs algorithmes.